Math appliquer a l'informatique
Chapitre 1 :les systèmes du codage
-Tous les ordinateurs faire des calcules numérique en arrière plan pour traduire les ordres des utilisateurs en un réponse exacte et facile ; comment faire cette opération logique :
-le systeme de Numérotation :
la forme binomiale d'un nombre (0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10)
907321/10 = 9*10^5 + 0*10^4+ 7*10^3+ 3*10^2+2*10^1+1*10^0
la base octale (0;1;2;3;4;5;6;7;8)
1306/8=1*8^3+3*8^2+0*8^1+6*8^0=710/10
la base binaire(0;1)
1011001111/2=1*2^9+0*2^8+1*2^7+1*2^6+0*2^5+0*2^4+1*2^3+1*2^2+1*2^1+1*2^0=512+0+128+64+0+0+8+4+2+1=719/10
la base hexadécimale (0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;A;B;C;D;E;F)
7AE/16=7*16^2+10*16^1+14*16^0=1792+160+14+1966/10
Exercice:
comment convertir les nombre décimale en /10=........?......../2
/10=..........?......./8
/10=...........?...../16
/10=...........?...../Gray
/10=........?......../BCD
Réponse
il a Deux Méthode :
1- en devisant par /2
155/10= 10011011/2
la 2eme méthode:
binaire
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
| |
décimale
|
128
|
64
|
32
|
16
|
8
|
4
|
2
|
1
| |
la puissance
|
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
128
+16
+8 danc le résulta dans le tableau est: 11011001
+2
1
---------
155
2-pour convertir la base décimal a la base octale:
exemple 321/10=...501........../8
la deuxième méthode:
convertir en binaire et âpre en convertir en octale
265
+64 danc 321/10=101000001/2 alors en séparer a 3 bit 101-000-001 danc
+1
---------- 321/2=501/8
321
3-convertir le nbr décimal en hexadécimal:
exemple: 456/10=.....1 12 8........./16 et par rapport le tableau :1C8/16
autre méthode
256
+128 danc 456/10=111001000//2 alors 0001-1100-1000
+64 456/2=1 12 8= 1 C 8/16
+8
-----------
456
4-convertir le nbr décimale en BCD par le tableau ou par la méthode suivant:
exemple : 31/2= 0011 0001/2 en bcd 00110001
↓ ↓
3 1
EXPLICATION : 0 0 0 1 1 1 1 1 /2
+ + + +
= 0 0 1 1 0 0 0 1 /BCD
pour plus des exercice voici le document :exercice 1 codage des nbr
correction de exercice 1 voici le document :exercice 1
pour plus des exercices voici le document :exercice 2
partie 1
partie 2:
partie 3
la conversion d'un nombre binaire en gray:
01101000/2= /gray un règle:
+ + + + + + +
0 1 1 0 1 0 0 0
------------------------
0 1 0 1 1 1 0 0 danc 01101000/2= 01011100 /gray
la conversion d'un nombre gray en binaire:
exemple : 1110/gray = /2
+ + +
1 1 1 0
---------------
1 0 1 1 danc 1110 /gray = 1011 /2
1 0 1 1 /2
---------------
1 1 1 0 danc 1011 /2 =1110 /gray
- les opération binaire:
1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0
+ 1 1 1 1 1 0 1 1
+ 1 1 0 1 1 1 0
---------------------------------- ---------------------------------------
1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1
1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1
* 1 1 0 * 1 1 0 1
---------------------------- ------------------------------
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1
1 0 1 1 1 0 1 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0.
1 0 1 1 1 0 1 1 . 1 1 0 1 1 1 0 1 .
------------------------------ 1 1 0 1 1 1 0 1 .
1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 -------------------------------
1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1
- 1 1 0 1 0 1
-------------------------------
0 1 1 1 0 0 1 0 0
pour plus des exercice voici le document :lien des opération binaire
2-Nombres signés sur 8 bits:
Nous avons jusqu'à présent parlé de nombres entiers naturels. Ils ne peuvent par nature qu'être positifs ou nuls. Envisageons maintenant les nombres entiers relatifs ou autrement dit, munis d'un signe ‘+’ ou ‘-’
En décimal,
+1, +2, +3 etc. sont des nombres positifs. Ils sont supérieurs à 0 ( n >0 )
-1, -2, -3 etc. sont des nombres négatifs. Ils sont inférieurs à 0 ( n < 0 )
De même en binaire,
+1, +10, +11, +100, +101 etc. sont des nombres binaires positifs,
-1, -10, -11, -100, -101 etc. sont des nombres binaires négatifs.
Le problème est que les circuits électroniques digitaux ne peuvent enregistrer que des 0 ou des 1 mais pas de signes + ou -. Le seul moyen est alors de convenir que si un nombre est susceptible d'être négatif, on lui réserve un bit pour indiquer le signe. Reste à déterminer le bit qui dans un nombre binaire conviendrait le mieux pour symboliser le signe et quelle valeur de ce bit (0 ou 1) conviendrait le mieux pour représenter le signe "plus" ou le signe "moins".
complément a 1 et complément a 2:
la première étape↔ on doit convertir en binaire:
17/10 = 10001/2 ↣ ajouter 3 bits a 0 pour compléter 8 bits +17=0001 0001 ↣ -17= 1001 0001
complément a 1 :
remplacer 0 par 1 ↣ -17=11101110 +17= 0001 0001
complément a 2: -17=11101110+1= 11101111l pour +17 ne change pas comme le binaire
plus des exemples
- (-107)10 = (10010101)2
- (107)10=…(01101011)2
- Complément à 1 : 1 0 0 1 0 1 0 0 …
- Complément à 2 (+1) : 1 0 0 1 0 1 0 1 Donc : (-107)10 = (10010101)2
- (11000110)2= (-58)/10
- Ce nombre est négatif ( bit 7 = 1 )
- On calcule son complément à 2 : Complément à 1 : 0 0 1 1 1 0 0 1
- Complément à 2 (+1) : 0 0 1 1 1 0 1 0 (00111010)2=(58)10 DONC (11000110)2= (-58)10
conversion binaire ↔ nombre fractionnaire:
(31,75)10 = (11111 , 11)2 ↔ (31)10= (11111)2 Partie Fractionnaire :
- On multiplie successivement (0,75) par 2 0,75 * 2 = 1,50
- 1 0,50 * 2 = 1,00
- 1 0,00 * 2 = 0 Donc (0,75)10 =(0,11)2 Finalement
- (31,75)10 = (11111 , 11)2
- (1111,0101)2=(15.,3125)10
- (1111)2= (15)10 Partie Fractionnaire : (0,0101)2= 0* 2-1 + 1*2-2 + 0*2-3 + 1* 2-4 = 1/4 + 1/16 =0,3125 Donc (0,0101)2=(0.,3125)10 Finalement :(1111,0101)2=(15.,3125)10
Représentation des nombre sur 32 bit
127+décalage = 127+8 = 128+7
301+0.71=100101101+0.101101011011111
=100101101.101101011011111/2
=1.00101101101101011011111*2^8
301.71 = 0 10000111 00101101101101011011111
Représentation des nombre sur 64 bit:
-701.92/10= 1010111101 /32 bit
= 110001000 010111101011010100 /32 bit
- 1 1000 000 1000 0101111010111101011110101110101000
1111010110 10 100 011101011010
1 bit 11 bit 52 bit
algèbre de Boole
L'algèbre de Boole, ou calcul booléen, est la partie des mathématiques qui s'intéresse à une
approche algébrique de la logique, vue en termes de variables, d'opérateurs et de fonctions sur les
variables logiques, ce qui permet d'utiliser des techniques algébriques pour traiter les expressions à deux
valeurs du calcul des propositions. Elle fut lancée en 1854 par le mathématicien britannique George Boole.
Aujourd'hui, l'algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en informatique et dans la conception
des circuits électroniques. Le lien de cours complet: télécharger algèbre de Boole
Simplifier au maximum les expressions logiques suivantes:
(a) A·B+A·B
Correction :
A·B+A·B = (A+A)·B = 1·B = B
(b) (A+B)·(A+B)
Correction :
(A+B)·(A+B) = A+B·B = A+0 = A
(c) A+A·B
Correction :
A+A·B = A·1+A·B = A·(1+B) = A·1 = A
(d) A·(A+B)
Correction :
A·(A+B) = (A+0)·(A+B) = A+0·B = A+0 = A
(e) A·B+A+B+C +D
Correction :
A·B+A+B+C +D = (A+B)·(A+B+C +D)
= (A+B)·((A+B)+ (C +D))
donc, d’après l’exercice
= A+B
(f) A+B·C +A·(B·C)·(A·D+B)
Correction :
A+B·C +A·(B·C)·(A·D+B) = (A+B·C)+ (A+B·C)·(A·D+B)
d’après l’exercice 3,
A+B·C +A·(B·C)·(A·D+B) = (A+B·C)+ (A·D+B) = (A+A·D)+ (B+B·C)
d’après l’exercice :
A+B·C +A·(B·C)·(A·D+B) = A+B
(g) (A⊕B)·B+A·B
2
Correction :
d’après l’exercice 2,
(A⊕B)·B + A·B = (A·B + A·B)·B + A·B
= A·B + A·B·B + A·B
= A·B + A·B
= B
(h) A + A·B + A·B
Correction :
A + A·B + A·B = (A + A·B) + A·B
d’après l’exercices :
A + A·B + A·B = (A + B) + (A + B) = 1
Chapitre 2: l'adressage
les classes des adresses ip:
class A-
réseau de grand taille implémenté par de grand entreprise:
Identifier par le 1er octet dans le 1er bit est 0
1 ↔126 exemple.0/8
0xxx xxxx.0000 0000.0000 0000.00000/8
dérnier adresse 126.255.255.255
255.0.0.0 masque par défaut
class B-
réseau de taille moyen implémentés par des universités et par des entreprise de taille intermédiaire
Identifier par les 2 em octet dans les 2 premier bits de premier octet est 10
exemple 130.7.0.0/16
10xx xxxx.xxxx xxxx.0000 0000/16
dernière adresses 191.255.255.255
masque par défaut 255.255.0.0
class C-
petit réseau a des petite entreprise identifier pour 3 premier octet dans les 3 premier bits de 3eme octet 110
110x xxxx. xxx xxxx. xxx xxxx. 0000 0000/24
exemple 198.50.107.0/24
masque par défaut 255.255.255.0
dérnier adresses 223.255.255.0
voir le résumer du cour dans article pour comprendre bien le principe de routage:
exemple : le découpage simple d'un réseau a 3 routeur
soit le réseaux 192.168.1.0/24 on va fait le découpage suivant :
on est 3 routeur a chaque route 3 hôte
R1=3
R2=2
R3=1
totale = 6
correction:
le tableau de découpage:
exercice 1:
fait le découpage de réseau sur le schéma suivant:
R1 = 5
R2 = 3
R3 = 1
R4 =3
R5 =2
totale = 14
on a 14 ces le totale des sous réseau sur le schéma
133.200.0.0/16 (on saut quelque sous réseau pour nous ne perdre pas beaucoup du temps )😅
2-la méthode vlsm:
exemple : 192.168.11.0 le découpage du réseau avec la méthode vlsm
on a le réseaux suivant avec 4 routeur :
repense : l'ordre des hôte par rapport le chima ☝
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